Question

已知f(x)=,n∈N*,試比較f()與的大小,并且說明理由.

 

Answer 1

見解析

【解析】f()==

=1-,

而=1-,

∴f()與的大小等價于2n與n2的大小.

當n=1時,21>12;當n=2時,22=22;

當n=3時,23<32;當n=4時,24=42;

當n=5時,25>52.猜想當n≥5時,2n>n2.

以下用數學歸納法證明:

①當n=5時,由上可知不等式成立;

②假設n=k(k≥5,k∈N*)時,

不等式成立,即2k>k2,

則當n=k+1時,2k+1=2·2k>2k2,

又∵2k2-(k+1)2=(k-1)2-2>0(∵k≥5),即2k+1>(k+1)2,

∴n=k+1時,不等式成立.

綜合①②對n≥5,n∈N*不等式2n>n2成立.

∴當n=1或n≥5時,f()>;

當n=3時,f()<;

當n=2或4時,f()=.