Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC=2，BD=2 ，E是PB上任意一點．

（1）求證：AC⊥DE；
（2）已知二面角A﹣PB﹣D的余弦值為 ，若E為PB的中點，求EC與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD

∴PD⊥AC

又∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，BD∩PD=D

∴AC⊥平面PBD，∵DE平面PBD

∴AC⊥DE…（6分）

（2）解：分別以OA，OB，OE方向為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設PD=t，則

由（1）知：平面PBD的法向量為 ，

令平面PAB的法向量為 ，則根據 得 ∴

因為二面角A﹣PB﹣D的余弦值為 ，則 ，即 ，∴

∴

設EC與平面PAB所成的角為θ，

∵ ，

∴

【解析】（1）證明線線垂直，正弦證明線面垂直，即證AC⊥平面PBD；（2）分別以OA，OB，OE方向為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設PD=t，用坐標表示點，求得平面PBD的法向量為 ，平面PAB的法向量為 ，根據二面角A﹣PB﹣D的余弦值為 ，可求t的值，從而可得P的坐標，再利用向量的夾角公式，即可求得EC與平面PAB所成的角．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識，掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點，以及對空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．