Question

（2012•濟南三模）在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面ACC₁A₁⊥面ABC，AA1=

2

a，A₁C=CA=AB=a，AB⊥AC，D為AA₁中點．
（1）求證：CD⊥面ABB₁A₁；
（2）在側棱BB₁上確定一點E，使得二面角E-A₁C₁-A的大小為

π

3

．

Answer 1

分析：（1）由已知中側面ACC₁A₁⊥面ABC，AB⊥AC，由面面垂直的性質定理可得AB⊥面ACC₁A₁，進而AB⊥CD，由AC=A₁C，D為AA₁中點，根據等腰三角形“三線合一”可得CD⊥AA₁，結合線面垂直的判定定理可得CD⊥面ABB₁A₁；
（2）建立空間直角坐標系C-xyz，由

BE

=λ

BB1

，可得E點坐標為（（1-λ）a，a，λa）．求出面A₁C₁A地一個法向量和平面EA₁C₁地一個法向量，根據二面角E-A₁C₁-A的大小為

π

3

，構造方程組，解出λ值后，可得E點的位置．

解答：證明：（1）∵AB⊥AC，面ACC₁A₁⊥面ABC，∴AB⊥面ACC₁A₁，即有AB⊥CD；
又AC=A₁C，D為AA₁中點，則CD⊥AA₁∴CD⊥面ABB₁A₁…（4分）
解：（2）如圖所示建立空間直角坐標系C-xyz，則有A（a，0，0），B（a，a，0），A₁（0，0，a），B₁（0，a，a）C₁（-a，0，a），設E（x，y，z），且

BE

=λ

BB1

，即有（x-a，y-a，z）=λ（-a，0，a），
所以E點坐標為（（1-λ）a，a，λa）．…（7分）
由條件易得面A₁C₁A地一個法向量為

n1

=(0，1，0)，設平面EA₁C₁地一個法向量為

n2

=(x，y，z)，由

n 2⊥A1 C 1 n ⊥ A1E

可得

-ax=0 (1-λ)ax+ay+(λ-1)az=0

令y=1，則有

n

2=(0，1，

1

1-λ

)，…（10分）
則cos

π

3

=|

n1 • n2

| n1 || n2 |

|=

1

1+ 1 (1-λ)2

=

1

2

，得λ=1-

3

3

所以，當

| BE |

| BB1 |

=1-

3

3

時，二面角E-A₁C₁-A的大小為

π

3

…（12分）

點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面垂直的判定，其中（1）的關鍵是熟練掌握線面垂直的判定定理，（2）的關鍵是設出E點坐標，求出面A₁C₁A地一個法向量和平面EA₁C₁地一個法向量，并根據二面角E-A₁C₁-A的大小為

π

3

，構造方程．