Question

（2012•濟南三模）設函數f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N^*），f^′（x）表示f（x）導函數．
（I）求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）當k為偶數時，數列{a_n}滿足a₁=1，anf′(an)

=a

2 n+1

-3．證明：數列{

a

2 n

}中不存在成等差數列的三項；
（Ⅲ）當k為奇數時，設bn=

1

2

f′(n)-n，數列{b_n}的前n項和為S_n，證明不等式(1+bn)

1

bn+1

＞e對一切正整數n均成立，并比較S₂₀₁₂-1與ln2012的大小．

Answer 1

分析：（I）先求函數f（x）的導數，f′（x），再對k進行奇偶數討論：1°當k 為奇數時；2°當k 為偶數時；分別得出導數值為正或負時的x的取值集合，最后綜合即可；
（II）當k 為偶數時，由（1）知f′（x），由條件得{a_n ²+1}是一個公比為2的等比數列，從而得到a_n²=2ⁿ-1，最后利用反證法進行證明即可；
（Ⅲ） 當k為奇數時，f′（x）=2（x+

1

x

），要證（1+b_n） 

1

bn+1

＞e，即證（1+

1

n

）ⁿ⁺¹＞e，兩邊取對數，即證ln（1+

1

n

）＞

1

n+1

，設1+

1

n

=t，構造函數g（t）=lnt+

1

t

-1，利用導數工具研究其單調性即可證得lnt＞1-

1

t

，最后利用累乘法即可證出S₂₀₁₂-1＜ln2012．

解答：解：（I）函數f（x）的定義域為（0，+∞），又f′（x）=2x-2（-1）^k

1

x

=

2[x2-(-1)k]

x

，
1°當k 為奇數時，f′（x）=

2(x2+1)

x

，∵x∈（0，+∞），∴f′（x）＞0恒成立；
2°當k 為偶數時，f′（x）=

2(x2-1)

x

，∵x+1＞0，∴f′（x）＞0得x＞1，即f（x）的單調增區間為（1，+∞），
綜上所述，當k 為奇數時，f（x）的單調增區間為（0，+∞），當k 為偶數時，即f（x）的單調增區間為（1，+∞），
（Ⅱ）當k 為偶數時，由（1）知f′（x）=2x-

2

x

，∴f′（a_n）=2a_n-

2

an

，
由條件得：2（a_n²-1）=a _n+1 ²-3，故有：a_n+1 ²+1=2（a_n ²+1），
∴{a_n ²+1}是一個公比為2的等比數列，∴a_n²=2ⁿ-1，
假設數列{a_n²}中的存在三項a_r ²，s ²，a_t ²，能構成等差數列
不妨設r＜s＜t，則2a_s ²=a _r ²+a_t ²，
即2（2^s-1）=2^r-1+2^t-1，∴2 ^s-r+1=1+2 ^t-r，
又s-r+1＞0，t-r＞0，∴2 ^s-r+1為偶數，1+2 ^t-r為奇數，故假設不成立，
因此，數列{a_n²}中的任意三項不能構成等差數列；
（Ⅲ） 當k為奇數時，f′（x）=2（x+

1

x

），
∴b_n=

1

2

f′（n）-n=

1

n

，S_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

要證（1+b_n） 

1

bn+1

＞e，即證（1+

1

n

）ⁿ⁺¹＞e，兩邊取對數，
即證ln（1+

1

n

）＞

1

n+1

（10分）
設1+

1

n

=t，則n=

1

t-1

，
lnt＞1-

1

t

（t＞1），構造函數g（t）=lnt+

1

t

-1，
∵x＞1，∴g′（t）=

1

t

-

1

t2

＞0
∴g（t）在（1，+∞）上是增函數，g（t）＞g（1）＞0
即lnt＞1-

1

t

，∴（1+b_n） 

1

bn+1

＞e，
S₂₀₁₂-1=（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2012

）-1=

1

2

+

1

3

+…+

1

2012

，
∵ln（1+

1

n

）＞

1

n+1

，∴

1

2

+

1

3

+…+

1

2012

＜ln2+ln（1+

1

2

）+…+ln（1+

1

2012

）=ln2+ln

3

2

+…+ln

2012

2011

=ln（2×

3

2

×…×

2012

2011

）=ln2012，
∴

1

2

+

1

3

+…+

1

2012

＜ln2012，

點評：本小題主要考查等差關系的確定、利用導數研究函數的單調性、證明不等式等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．