Question

（2012•濟南三模）經市場調查，某旅游城市在過去的一個月內（以30天計），第t天（1≤t≤30，t∈N﹢）的旅游人數f（t） （萬人）近似地滿足f（t）=4+

1

t

，而人均消費g（t）（元）近似地滿足g（t）=120-|t-20|．
（1）求該城市的旅游日收益w（t）（萬元）與時間t（1≤t≤30，t∈N^﹢）的函數關系式；
（2）求該城市旅游日收益的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據該城市的旅游日收益=日旅游人數×人均消費的錢數得w（t）與t的解析式；
（2）因為w（t）中有一個絕對值，討論t的取值，化簡得W（t）為分段函數，第一段運用基本不等式求出最值，第二段是一個遞減的函數求出最值比較即可．

解答：解：（1）由題意，根據該城市的旅游日收益=日旅游人數×人均消費的錢數可得W（t）=f（t）g（t）=（4+

1

t

）（120-|t-20|）=

401+4t+ 100 t (1≤t≤20) 559+ 140 t -4t(20＜t≤30)

（2）當t∈[1，20]時，401+4t+

100

t

≥401+2

4t× 100 t

=441（t=5時取最小值）
當t∈（20，30]時，因為W（t）=559+

140

t

-4t遞減，所以t=30時，W（t）有最小值W（30）=443

2

3

∵443

2

3

＞441
∴t∈[1，30]時，W（t）的最小值為441萬元．

點評：本題考查學生根據實際情況選擇函數類型的能力，以及基本不等式在求函數最值中的應用能力，屬于中檔題．