Question

（本小題滿分12分）

設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A(－l，0)和B(1，0)的距離分別為d₁和d₂，

∠APB＝2θ,且存在常數(shù)λ(0＜λ＜1＝,使得d₁d₂ sin²θ＝λ．

   （1）證明：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；

   （2）過(guò)點(diǎn)B作直線交雙曲線C的右支于M、N兩

點(diǎn),試確定λ的范圍,使·＝0,其中點(diǎn)

O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

                          

 

Answer 1

【答案】

（1）動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C為雙曲線，方程為：

（2）．由①②知

【解析】解法一：（1）在中，，即，

，即（常數(shù)），

點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線．

方程為：．

（2）設(shè)，

①當(dāng)垂直于軸時(shí)，的方程為，，在雙曲線上．

即，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051811051871876411/SYS201205181106188281158085_DA.files/image021.png">，所以．

②當(dāng)不垂直于軸時(shí)，設(shè)的方程為．

由得：，

由題意知：，

所以，．

于是：．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051811051871876411/SYS201205181106188281158085_DA.files/image030.png">，且在雙曲線右支上，所以

．

由①②知，．

解法二：（1）同解法一

（2）設(shè)，，的中點(diǎn)為．

①當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051811051871876411/SYS201205181106188281158085_DA.files/image021.png">，所以；

②當(dāng)時(shí)，．

又．所以；

由得，由第二定義得

．

所以．

于是由得

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051811051871876411/SYS201205181106188281158085_DA.files/image047.png">，所以，又，

解得：．由①②知．