Question

【題目】如圖1，四邊形是邊長為2的菱形，，為的中點，以為折痕將折起到的位置，使得平面平面，如圖2.

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）依題意可得，由面面垂直的性質可得平面，從而得到，再證，即可得到平面，從而得證；

（2）以為原點，分別以，，的方向為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系，利用空間向量求二面角的余弦值；

解：（1）依題意知，因為，所以，

當平面平面時，

平面平面，平面，

所以平面，

因為平面，所以，

由已知，是等邊三角形，且為的中點，

所以，，所以，

又，平面，平面，

所以平面，

又平面，所以平面平面.

（2）以為原點，分別以，，的方向為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系，

則，，，，

，，，

，

設平面的一個法向量，平面的一個法向量

由得；令，解得，，

所以，

由得；令，解得，，

所以，

.

易得所求二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.