Question

已知銳角三角形的三邊長分別為1，3，a，則實數(shù)a的取值范圍是

（2

2

，

10

）

．

Answer 1

分析：由已知中△ABC三邊長分別為1、3、a，根據(jù)余弦定理的推論得到△ABC為銳角三角形時，由兩邊長1和3求出a的范圍，但3與a邊均有可能為最大邊，故要分類討論．

解答：解：∵△ABC三邊長分別為1、3、a，
又∵△ABC為銳角三角形，
當3為最大邊時3≥a，設3所對的角為α，
則根據(jù)余弦定理得：cosα=

a2+1-32

2a

＞0，
∵a＞0，
∴a²-8＞0，
解得3≥a＞2

2

；
當a為最大邊時a＞3，設a所對的角為β，
則根據(jù)余弦定理得：cosβ=

1+9-a2

6

＞0，
∴10-a²＞0，
解得：3＜a＜

10

，
綜上，實數(shù)a的取值范圍為（2

2

，

10

）．
故答案為：（2

2

，

10

）

點評：本題考查了三角形的形狀判斷，以及余弦定理的應用，利用了分類討論的思想．解答本題的關鍵是利用余弦定理推論出最大邊所對角的余弦值大于0，進而根據(jù)兩邊長1和2求出第三邊a的取值范圍．