Question

【題目】已知函數f（x）= 為奇函數．
（1）則a=
（2）函數g（x）=f（x）﹣ 的值域為 ．

Answer 1

【答案】
（1）1
（2）（﹣1，0）∪（0，1）
【解析】解：（1）根據題意，函數f（x）= ，則有f（﹣x）= = ， 若函數f（x）為奇函數，則有 =﹣ ，
分析可得，a=1，（2）由（1）可得，a=1，則f（x）= ，
則g（x）=f（x）﹣ = ﹣ =1+ ﹣ ，
其中x≠0，
則g（﹣x）= + = + =﹣（ ﹣ ）=﹣g（x），則函數g（x）為奇函數，
當x＞0時，函數為增函數，當x→+∞時，g（x）→1，
即當x＞0時，0＜g（x）＜1，∵函數是奇函數，
∴當x＜0時，﹣1＜g（x）＜0，
綜上函數的值域為（﹣1，0）∪（0，1），
所以答案是：1，（﹣1，0）∪（0，1），

【考點精析】通過靈活運用函數奇偶性的性質，掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇即可以解答此題．