Question

【題目】現有5名男生和3名女生站成一排照相，

（1）3名女生站在一起，有多少種不同的站法？

（2）3名女生次序一定，但不一定相鄰，有多少種不同的站法？

（3）3名女生不站在排頭和排尾，也互不相鄰，有多少種不同的站法？

（4）3名女生中，A，B要相鄰，A，C不相鄰，有多少種不同的站法？

Answer 1

【答案】（1）4320種（2）6720種（3）2880種（4）8640種

【解析】

（1）3名女生站在一起，用捆綁法，即可求解；

（2）3名女生次序一定按無序處理，用組合數計算，即可求解；

（3）3名女生互不相鄰，用插空法，再扣除頭尾兩個位置，即可求解；

（4）對A，B，C三人是否相鄰分類討論，若相鄰，先排這這3人然后捆綁與其它元素進行排列；若不相鄰，A，B捆綁與C插空排列到5人男生中，即可求解.

（1）根據題意，分2步

①，3名女生看成一個整體，考慮其順序有A33＝6種情況，

②，將這個整體與5名男生全排列，有A66＝720種情況，

則3名女生排在一起的排法有6×720＝4320種；

（2）根據題意，將5人排到8個位置，有A85種排法，

由于3名女生次序一定，就一種排法，

則其排法有種排法；

（3）根據題意，分2步

①，將5名男生全排列，有A55＝120種情況，

②，除去兩端，有4個空位可選，在其中任選3個，

安排3名女生，有A43＝24種情況，則3名女生不站在排頭和排尾，

也互不相鄰的排法有120×24＝2880種；

（4）根據題意，分2種情況

①，A、B、C三人相鄰，則B在中間，A、C在兩邊，

三人有A22＝2種排法，將3人看成一個整體，

與5名男生全排列，有A66＝720種情況，

則此時有2×720＝1440種排法；

②，A、B、C三人不全相鄰，先將5名男生全排列，

有A55＝120種情況，將A、B看成一個整體，

和C一起安排在5名男生形成的6個空位中，

有120×A66×A62＝7200種，則3名女生中，A，B要相鄰，

A，C不相鄰的排法有1440+7200＝8640種排法．