Question

(本小題滿分12分）已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)).

(I )若函數(shù)有極值，求實數(shù)a的取值范圍；

(II)若，求證：當(dāng)x>0時，

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 由，可得，………………….2分

依題意，需方程在上有兩個不等實根，

則：，…………………4分

解得： .           ……………………5分

(Ⅱ)若，   ,  

∴，

設(shè)，                         

，

,         ………………………7分

令 , 得.

當(dāng)時，  ， 單調(diào)遞減；

當(dāng)時，  ， 單調(diào)遞增；

∴  ,                  

∴  ,…………………9分

∵，∴ ，

∴在上單調(diào)遞增，    ∵， 

∴ ，                        ……………………………11分

∵ ， ∴   ，

∴， 

即   .                               ……………………12分

【解析】(I)連續(xù)函數(shù)有極值，說明的方程有根。并且根兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號。根據(jù)這一點確定a的取值范圍。

(II)把要證的不等式轉(zhuǎn)化為:當(dāng)x>0時，恒成立的問題。然后根據(jù)條件再構(gòu)造函數(shù)求最值進行求證。