Question

函數y=sin²x+2asinx-a-2 （a∈R）的最小值為-3，求a的值．（提示：sinx∈[-1，1]）

Answer 1

分析：先設t=sinx把原函數轉化為關于t的二次函數，討論對稱軸和區間的三種位置關系分別求出其最小值，再與已知條件相結合即可求a的值．

解答：解：設t=sinx，則f（t）=t²+2at-a-2=（t+a）²-a²-a-2，（-1≤t≤1）
（1）當-1≤-1≤1，即-1≤a≤1時，y_min=-a²-a-2=-3，
即a²+a-1=0，解得：a=

5 -1

2

（2）當-a＜-1，即a＞1時，f（t）在[-1，1]上單調遞增，y_min=f（-1）=-3a-1=-3，解得：a=

2

3

（舍去）
（3）當-a＞1，即a＜-1時，f（t）在[-1，1]上單調遞減，y_min=f（1）=a-1=-3，解得：a=-2，
綜上所述，a=

5 -1

2

或a=-2．

點評：本題主要考查三角函數的最值以及二次函數在閉區間上的最值求法．找二次函數在閉區間上的最值時，一定要討論對稱軸和區間的三種位置關系．