Question

（2009•日照一模）給出下列四個命題：
①若a＜b，則a²＞b²；
②若a≥b＞-1，則

a

1+a

≥

b

1+b

；
③若正整數m和n滿足；m＜n，則

m(n-m)

≤

n

2

；
④若x＞0，且x≠1，則lnx+

1

lnx

≥2；
其中真命題的序號是

②③

（請把真命題的序號都填上）．

Answer 1

分析：分別利用不等式的性質進行判斷，即可．

解答：解：①若a=0，b=1，則a²＜b²；所以①不成立．
②

a

1+a

-

b

1+b

=

a(1+b)-b(1+a)

(1+a)(1+b)

=

a-b

(1+a)(1+b)

，因為若a≥b＞-1，所以1+a＞0，1+b＞0，a-b＞0，
所以

a

1+a

-

b

1+b

=

a-b

(1+a)(1+b)

＞0，所以

a

1+a

＞

b

1+b

，所以②正確．
③因為正整數m和n滿足；m＜n，所以由基本不等式可得

m(n-m)

≤

m+n-m

2

=

n

2

，所以③正確．
因為當0＜x＜1，時，lnx＜0，不滿足基本不等式的條件，所以④錯誤．
故答案為：②③．

點評：本題主要考查命題的真假判斷，綜合性強，涉及的知識點較多．