Question

（2009•日照一模）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）設(shè)

m

=(sinA，1)，

n

=(-1，1)，求

m

•

n

的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化簡已知的等式，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，再利用誘導(dǎo)公式變形，根據(jù)sinA不為0，求出cosB的值，由B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（Ⅱ）由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運算法則計算所求的式子，根據(jù)B的度數(shù)，得出A的范圍，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出所求式子的最小值．

解答：解：（I）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，有a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
代入（2a-c）cosB=bcosC，得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C），
∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA，
∵0＜A＜π，∴sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，
∵0＜B＜π，∴B=

π

3

；
（II）∵

m

=（sinA，1），

n

=（-1，1），
∴

m

•

n

=-sinA+1，
由B=

π

3

得：A∈（0，

2π

3

），
則當(dāng)A=

π

2

時，

m

•

n

取得最小值0．

點評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，平面向量的數(shù)量積運算，誘導(dǎo)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．