Question

如圖，四面體中，、分別是、的中點，

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的正切值；
（Ⅲ）求點到平面的距離．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．

解析試題分析：（1）由題意可知，為等腰三角形，是邊上的中線，所以，再由已知條件算出的三條邊長，由此根據勾股定理，可證,從而得證平面；（2）作于F，連AF，由（1）知， 故，所以 ,則 是二面角的平面角，利用平面幾何知識即可算出其正切值；（3）設點E到平面ACD的距離為因為,所以,從而求出．也可以點為原點，建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，利用利用空間向量方法，求解各個小題，詳見解析．
試題解析：（Ⅰ）證明：連結OC


在中，由已知可得而
即
平面
（Ⅱ）解： 作于F，連AF
由（1）知， 故 
 , 是二面角的平面角，
易知,.
即所求二面角的正切值為 
（Ⅲ）解：設點E到平面ACD的距離為


在中，

而

點E到平面ACD的距離為
方法二：（Ⅰ）同方法一.
（Ⅱ）解：以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，則

（Ⅲ）解：設平面ACD的法向量為則


令得是平面ACD的一個法向量，又
點E到平面ACD的距離．
考點：本題考查的知識點是空間直線與平面垂直的判定，空間點到平面的距離，二面角的平面角，其中（I）的關鍵是熟練掌握空間線線垂直與線面垂直之間的轉化，（II）（III）的關鍵是建立空間坐標系，利用向量法解決空間距離和夾角問題．