Question

設函數，。
（1）當時，求的單調區間；
（2）（i）設是的導函數，證明：當時，在上恰有一個使得；
（ii）求實數的取值范圍，使得對任意的，恒有成立。
注：為自然對數的底數。

Answer 1

（1）的減區間是；增區間是 
（2）在上恰有一個使得.
（ⅱ）。

解析試題分析：（1）當時，   1分
當時，；當時，
所以函數的減區間是；增區間是      3分
（2）（ⅰ）   4分
當時，；當時，
因為，所以函數在上遞減；在上遞增    6分
又因為，
所以在上恰有一個使得.    8分
（ⅱ）若，可得在時，，從而在內單調遞增，而，
，不符題意。       
由（ⅰ）知在遞減，遞增，
設在上最大值為則，
若對任意的，恒有成立，則，    11分
由得，，
又，。    13
考點：本題主要考查應用導數研究函數的單調性、最值，恒成立問題。
點評：典型題，本題屬于導數應用中的基本問題，首先通過求導數，研究導數值的正負情況，確定函數單調區間。應用同樣的方法，研究函數圖象的形態，明確方程解的情況。作為“恒成立問題”往往轉化成求函數的最值。