Question

【題目】已知數列，其中．

（1）若滿足．

①當，且時，求的值；

②若存在互不相等的正整數，滿足，且成等差數列，求的值．

（2）設數列的前項和為，數列的前n項和為，，，若，，且恒成立，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①8②1；（2）5

【解析】

（1）①由遞推公式直接計算；②時數列等差數列，滿足題意，時，利用累加法求出通項（用表示），假設存在，由判斷出只有，故此時無解，從而得；

（2）根據得的遞推關系，注意驗證也滿足，再由得的遞推關系，然后變形為，從而時，此式值為5，再計算時，，可得最小值為5．

（1）由，，，累加得

（2）①因，所以，，，當時，，滿足題意；

當時，累加得，所以

若存在滿足條件，化簡得，即，

此時（舍去）

綜上所述，符合條件的值為1

（2）由可知,兩式作差可得：，又由，可知故，所以對一切的恒成立

對，兩式進行作差可得,

又由可知，故

又由

,所以 ，

所以當時,當時,故的最小值為