Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，已知曲線(xiàn)：（為參數(shù)），曲線(xiàn)：（為參數(shù)），且，點(diǎn)P為曲線(xiàn)與的公共點(diǎn).

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

（2）在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為，求動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（）.（2）

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)P同時(shí)滿(mǎn)足曲線(xiàn)與的方程，消參得，，，由，即可求得點(diǎn)的軌跡方程；

（2）由，，將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，動(dòng)點(diǎn)為圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓，先求出圓心到直線(xiàn)的距離，即可求出動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)的取值范圍.

解析：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

因?yàn)辄c(diǎn)P為曲線(xiàn)與的公共點(diǎn)，所以點(diǎn)P同時(shí)滿(mǎn)足曲線(xiàn)與的方程.

曲線(xiàn)消去參數(shù)可得，曲線(xiàn)消去參數(shù)可得.

由，所以.

所以點(diǎn)P的軌跡方程為（）.

（2）由已知，直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程，

根據(jù)，可化為直角坐標(biāo)方程：.

因?yàn)?/span>P的軌跡為圓（去掉兩點(diǎn)），

圓心O到直線(xiàn)l的距離為，

所以點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離的取值范圍為.