Question

（2013•南京二模）在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C：

x2

4

-

y2

3

=1．設過點M（0，1）的直線l與雙曲線C交于A、B兩點，若

AM

=2

MB

，則直線l的斜率為

±

1

2

．

Answer 1

分析：設直線AB方程為y=kx+1，與雙曲線方程聯解得（3-4k²）x²-8kx-16=0．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根與系數的關系可得x₁+x₂=

8k

3-4k2

且x₁x₂=

-16

3-4k2

，根據

AM

=2

MB

得x₁=-2x₂，將三個式子聯解，即可得到直線l的斜率．

解答：解：設直線AB方程為y=kx+1，與雙曲線

x2

4

-

y2

3

=1消去y，
得（3-4k²）x²-8kx-16=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由根與系數的關系，得

x1+x2= 8k 3-4k2 x1x2= -16 3-4k2

…（1）
∵

AM

=2

MB

，可得x₁=-2x₂，∴代入（1）得

-x2= 8k 3-4k2 -2x22= -16 3-4k2

，
消去x₂得-2（

8k

3-4k2

）²=

-16

3-4k2

，解之得k²=

1

4

，得k=±

1

2

故答案為：±

1

2

點評：本題給出經過點M（0，1）的直線l交雙曲線于AB兩點，在已知

AM

=2

MB

的情況下求直線的斜率．著重考查了雙曲線的標準方程、簡單幾何性質和直線與雙曲線位置關系等知識，屬于中檔題．