Question

函數f（x）的導函數f'（x）=2x+b，且f（0）=c，g(x)=

x

f(x)

．
（1）若c＞0，g（x）為奇函數，且g（x）的最大值為

1

2

求b，c的值；
（2）若函數F（x）=f（x）+2-c定義域為[-1，1]，且F（x）的最小值為2，當函數f（x）在區間[-1，1]上有零點，求實數c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由條件得出f（x）=x²+bx+c，根據g（x）為奇函數求得b=0，g(x)=

x

x2+c

=

1

x+ c x

，再結合基本不等式求出最大值，列出關于c的方程，即可求得c值．
（2）先配方：F(x)=x2+bx+2=(x+

b

2

)2+2-

b2

4

再對b進行分類討論：-

b

2

＞1，當-

b

2

＜-1，-1≤-

b

2

≤1，求得F（x）的最小值得到b值，后根據f（x）=x²+c=0的區間[-1，1]上有解，即可得出c的取值范圍．

解答：解：（1）∵f'（x）=2x+b，且f（0）=c，則f（x）=x²+bx+c，∴g(x)=

x

f(x)

=

x

x2+bx+c

，
∵g（x）為奇函數，∴g（-x）=-g（x）恒成立，∴b=0，g(x)=

x

x2+c

=

1

x+ c x

∵g（0）=0且x+

c

x

∈(-∞，-2

c

]∪[2

c

，+∞)，∴g(x)∈[-

1

2 c

，

1

2 c

]，
由

1

2 c

=

1

2

得c=1
（2）F(x)=x2+bx+2=(x+

b

2

)2+2-

b2

4

當-

b

2

＞1，即b＜-2時F（x）_min=F（1）=3+b=2得b=-1舍去
當-

b

2

＜-1，即b＞2時F（x）_min=F（-1）=3-b=2得b=1舍去-1≤-

b

2

≤1即-2≤b≤2F(x)min=F(-

b

2

)=2-

b2

4

=2，得b=0滿足條件
∴f（x）=x²+c，由f（x）=x²+c=0得c=-x²，∵x∈[-1，1]，∴-x²∈[-1，0]
∵f（x）=x²+c=0的區間[-1，1]上有解，c的取值范圍為[-1，0]

點評：本小題主要考查導數在最大值、最小值問題中的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，化歸與轉化思想．屬于基礎題．