Question

（2010•合肥模擬）已知向量

a

=(sinx，cosx)，

b

=(cosx，

3

cosx)，f(x)=

a

•

b

-

3

2

，下面關于函數f（x）的導函數f'（x）說法中錯誤的是（　　）

• A．函數最小正周期是π
• B．函數在區間(0，

  π

  3

  )為減函數
• C．函數的圖象關于直線x=

  π

  2

  對稱
• D．圖象可由函數y=2sin2x向左平移

  5π

  12

  個單位長度得到

Answer 1

分析：A：根據函數的解析式可得：f′（x）的最小正周期為：π．
B：因為對于函數 y=cos(2x+

π

3

)的單調減區間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，所以f′（x）在區間(0，

π

3

)為減函數．
C：函數f′（x）=2cos（2x+

π

3

）的對稱軸為：x=

kπ

2

-

π

6

，k∈Z．
D：函數y=2sin2x向左平移

5π

12

個單位長度得到函數y=2sin（2x-

5π

6

），再根據誘導公式可得此答案正確．

解答：解：因為

a

=(sinx，cosx)，

b

=(cosx，

3

cosx)，
所以f(x)=

a

•

b

-

3

2

=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+

3

2

=sin（2x+

π

3

）+

3

2

，
所以f′（x）=2cos（2x+

π

3

）．
所以f′（x）的最小正周期為：π，所以A正確．
因為對于函數 y=cos(2x+

π

3

)的單調減區間為2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ+π，即kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
所以f′（x）在區間(0，

π

3

)為減函數，所以B正確．
函數f′（x）=2cos（2x+

π

3

）的對稱軸為：x=

kπ

2

-

π

6

，k∈Z，所以C錯誤．
D：函數y=2sin2x向左平移

5π

12

個單位長度得到函數y=2sin（2x-

5π

6

），再根據誘導公式可得此答案正確．
故選C．

點評：本題主要考查了余弦函數的有關性質，考查了學生對三角函數基礎知識的理解和把握．