Question

（1）在平面直角坐標系xOy中，判斷曲線C：

x=2cosθ y=sinθ

（θ為參數）與直線l：

x=1+2t y=1-t

（t為參數）是否有公共點，并證明你的結論．
（2）已知a＞0，b＞0，a+b=1，求證：

1

2a+1

+

4

2b+1

≥

9

4

．

Answer 1

分析：（1）將參數方程化為普通方程，再將直線方程代入橢圓方程，利用方程的判別式，可得結論；
（2）證法一：因為a＞0，b＞0，a+b=1，所以（

1

2a+1

+

4

2b+1

）[（2a+1）+（2b+1）]，再利用基本不等式，可得結論；
證法二：因為a＞0，b＞0，（

1

2a+1

+

4

2b+1

）[（2a+1）+（2b+1）]，由柯西不等式可證結論．

解答：（1）解：直線l的普通方程為x+2y-3=0．                 …（3分）
曲線C的普通方程為x²+4y²=4．                     …（3分）
由方程組

x+2y-3=0 x2+4y2=4

得8y²-12y+5=0
因為△=-16＜0，所以曲線C與直線l沒有公共點．       …（4分）
（2）證法一：因為a＞0，b＞0，a+b=1，
所以（

1

2a+1

+

4

2b+1

）[（2a+1）+（2b+1）]
=1+4+

2b+1

2a+1

+

4(2a+1)

2b+1

          …（5分）
≥5+2

2b+1 2a+1 × 4(2a+1) 2b+1

=9．   …（3分）
而（2a+1）+（2b+1）=4，所以

1

2a+1

+

4

2b+1

≥

9

4

．　…（2分）
證法二：因為a＞0，b＞0，由柯西不等式得
（

1

2a+1

+

4

2b+1

）[（2a+1）+（2b+1）]…（5分）
≥（

1 2a+1 ×(2a+1)

+

4 2b+1 ×(2b+1)

）²=（1+2）²=9．                  …（3分）
由a+b=1，得 （2a+1）+（2b+1）=4，
所以

1

2a+1

+

4

2b+1

≥

9

4

．　                      …（2分）

點評：本題考查參數方程，考查不等式的證明，解題的關鍵是化參數方程為普通方程，正確運用基本不等式與柯西不等式，屬于中檔題．