Question

【題目】已知橢圓C：的一個頂點為，且過拋物線的焦點F．

（1）求橢圓C的方程及離心率；

（2）設點Q是橢圓C上一動點，試問直線上是否存在點P，使得四邊形PFQB是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）求出橢圓C的方程為y2＝1，然后求解橢圓的離心率即可．

（2）設P（t，4﹣t），Q（x0，y0），推出，解得x0＝2﹣t，y0＝t﹣3，代入y2＝1，轉化求解t，判斷是否存在點P．

(1)橢圓C：的一個頂點為，可得，

拋物線的焦點

，

橢圓方程為，

，

，

(2)由已知，設，

若PFQB是平行四邊形，則，

，

整理得，．

將上式代入，

得，

整理得，

解得，或．

此時，或經檢驗，符合四邊形PFQB是平行四邊形，

所以存在或滿足題意．