Question

（本小題滿分14分）如圖，在三棱錐中，面面，是正三角形， ，．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求平面DAB與平面ABC的夾角的余弦值；
（Ⅲ）求異面直線與所成角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） 平面DAB與平面ABC的夾角的余弦值為；
（Ⅲ）異面直線與所成角的余弦值為 。

本試題主要是考查了線線的垂直和二面角的求解，以及異面直線的所成的角的求解的綜合運用。
（1）先根據線面垂直的性質定理得到線線垂直的判定。
（2）要求解二面角的平面角可以運用三垂線定理作出角，或者利用空間向量表示的二面角平面角。
（3）對于異面直線的所成的角，可以通過平移法得到結論。
（Ⅰ）分別取、的中點、，連結、．
∵是正三角形，∴．
∵面⊥面，且面面，
∴平面．∵是的中位線，且平面，∴平面．
以點為原點，所在直線為軸，所   
在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系．設，則，

，， ，．
∴，．            ……………………2分
∴．
∴，即 ．                      …………………5分
（Ⅱ）∵平面，    ∴平面的法向量為．            
設平面的法向量為，∴，．
∴，即 ．
，即 ．
∴令，則，．    ∴．               
 ．
平面DAB與平面ABC的夾角的余弦值為         …………………10分
（Ⅲ）∵，，
∴．
∴異面直線與所成角的余弦值為                 …………………14