Question

已知函數(shù)，函數(shù)f（x）在處取得極值．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若b≤2，t＜0，函數(shù)f（x）在[t，e]（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上的最大值為2，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（3）對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)b，曲線(xiàn)y=f（x）上是否存在兩點(diǎn)P，Q，使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上？

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，x＜1時(shí)，f（x）=ax³+x²，求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）在處取得極值，可得f′（）=0，從而可求a的值；
（2）由題意，x=e時(shí)，blne=b≤2，利用b≤2，t＜0，函數(shù)f（x）在[t，e]（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上的最大值為2，可得x=t時(shí)，函數(shù)取得最大值2，由此可求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（3）假設(shè)曲線(xiàn)y=f（x）上存在兩點(diǎn)P、Q滿(mǎn)足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在y軸兩側(cè)．設(shè)P（t，f（t））（t＞0），則Q（-t，t³+t²），顯然t≠1．由此入手能得到對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a，曲線(xiàn)y=f（x）上存在兩點(diǎn)P、Q，使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上．
解答：解：（1）由題意，x＜1時(shí)，f（x）=ax³+x²，則f′（x）=3ax²+2x，
∵函數(shù)f（x）在處取得極值，∴f′（）=a+=0，解得a=-1；
（2）由題意，x=e時(shí)，blne=b≤2
∵b≤2，t＜0，函數(shù)f（x）在[t，e]（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上的最大值為2，
∴x=t時(shí)，函數(shù)取得最大值2，即-t³+t²=2，
∴t=-1；
（3）假設(shè)曲線(xiàn)y=f（x）上存在兩點(diǎn)P、Q滿(mǎn)足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在y軸兩側(cè)．
不妨設(shè)P（t，f（t））（t＞0），則Q（-t，t³+t²），顯然t≠1
∵△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴•=0即-t²+f（t）（t³+t²）=0（*）
若方程（*）有解，存在滿(mǎn)足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；
若方程（*）無(wú)解，不存在滿(mǎn)足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q．
若0＜t＜1，則f（t）=-t³+t²代入（*）式得：-t²+（-t³+t²）（t³+t²）=0
即t⁴-t²+1=0，而此方程無(wú)解，因此t＞1．此時(shí)f（t）=blnt，
代入（*）式得：-t²+（blnt）（t³+t²）=0即=（t+1）lnt（**）
令h（x）=（x+1）lnx（x≥1），則h′（x）=lnx++1＞0
∴h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，∵t＞1，∴h（t）＞h（1）=0，∴h（t）的取值范圍是（0，+∞）．
∴對(duì)于b＞0，方程（**）總有解，即方程（*）總有解．
因此，對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)b，曲線(xiàn)y=f（x）上存在兩點(diǎn)P、Q，使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，難度較大．