Question

已知函數f（x）=[ax²-（a+1）x+1]e^x，a∈R．
（Ⅰ）若a=1，求函數y=f（x）在x=2處的切線方程；
（Ⅱ）若a∈[0，1]，設h（x）=f（x）-f'（x）（其中f'（x）是函數f（x）的導函數），求函數h（x）在區間[0，1]的最大值；
（Ⅲ）若a=1，試判斷當x＞1時，方程f（x）=x實數根的個數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數y=f（x）在x=2處的切線斜率為k=f′（2），應用直線的點斜式寫出切線方程
（Ⅱ）h（x）=f（x）-f'（x）=[-2ax+（a+1）]e^x，h′（x）=（-2ax-a+1）e^x，利用導數研究在[0，1]上的單調性，注意進行分類討論，得出最大值
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，問題可轉換為判定方程（x-1）²e^x=x，x＞1的實根的個數．設φ（x）=（x-1）²e^x-x，利用數形結合的思想，研究出y=φ（x）在（1，+∞）上只能有一個零點即可．

解答：解：（Ⅰ）若a=1，則f（x）=（x²-2x+1）e^x，f′（x）=（x ²-1）e^x
∴切線的斜率k=f′（2）=3e²
又切點的坐標為（2，e²），
∴切線方程為y-e²=3e²（x-2），即3e²x-y-5e²=0
（Ⅱ）由f′（x）=[ax²+（a-1）x-a]e^x
得h（x）=f（x）-f'（x）=[-2ax+（a+1）]e^x
，h′（x）=（-2ax-a+1）e^x
，（1）當a=0時，h′（x）=e^x＞0對x∈[0，1]恒成立，所以h（x）在[0，1]上單調遞增，h（x）max=h（1）=e
（2）當a∈（0，1]時，由h′（x）=0，得x=

1

2a

-

1

2

≥0
①當

1

2a

-

1

2

≥1時，即a∈（0，

1

3

]時，h′（x）≥0對x∈[0，1]恒成立，h（x）在[0，1]上單調遞增，h（x）max=h（1）=（1-a）e
②當1＞

1

2a

-

1

2

＞0時，即a∈（

1

3

，1）時，h（x）在[0，

1

2a

-

1

2

）上單調遞增，在（

1

2a

-

1

2

，1]上單調遞減，h（x）max=h（

1

2a

-

1

2

）=2ae

1-a

2a

③當

1

2a

-

1

2

=0時，即a=1時，h′（x）≤0對x∈[0，1]恒成立，h（x）在[0，1]上單調遞減，h（x）max=h（0）=a+1
綜上，當a=0時，h（x）max=e，當a∈（0，

1

3

]時，h（x）max=）=（1-a）e
當a∈（

1

3

，1）時，h（x）max=2ae

1-a

2a

，當a=1時，h（x）max=a+1．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，問題可轉換為判定方程（x-1）²e^x=x，x＞1的實根的個數．設φ（x）=（x-1）²e^x-x，則φ′（x）=（x²-1）e^x-1，再設k（x）=（x²-1）e^x-1，x＞1，則k′（x）=e^x（x²+2x-1）
x＞1時，k′（x）＞0，k（x）在（1，+∞）上單調遞增，又k（1）=-1＜0，k（2）=3e²-1＞0，所以在（1，2）上存在唯一x₀，使得k（x₀）=0即存在唯一x₀，使得φ′（x₀）=0．
從而φ（x）在（1，x₀）上單調遞減，在（x₀，+∞）上單調遞增，φ（x₀）＜φ（1）=-1＜0，又φ（2）=e²-2＞0故y=φ（x）的大致圖象如圖所示．
因此y=φ（x）在（1，+∞）上只能有一個零點．即當x＞1時，f（x）=x只有一個實根．

點評：本題考查導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程、利用導數研究函數的單調性等基礎知識，體現了分類討論、數形結合的思想方法．綜合性強．