Question

已知函數f(x)=

2-x

x-1

，g（x）=（x+1）³
（1）作出函數f（x）的圖象；
（2）寫出函數f（x）的單調區(qū)間，并利用定義證明函數f（x）在區(qū)間（-3，+∞）上的單調性；
（3）判斷f（x）-g（x）的零點個數．

Answer 1

分析：（1）化簡函數解析式為f(x)=

2-x

x-1

-1+

1

x-1

，故把函數y=

1

x

的圖象向右平移1個單位，再向下平移1個單位，即可得到函數f（x）的圖象，如圖所示．
（2）函數f（x）的減區(qū)間為（-∞，1）、（1，+∞），用函數的單調性的定義證明函數f（x）在區(qū)間（-3，1）上是減函數，在（1，+∞）上是減函數．
（3）函數f（x）-g（x）的零點個數，即函數f（x）和函數g（x）=（x+1）³ 的圖象交點的個數，在同一個坐標系中，畫出函數函數f（x）和函數g（x）=
（x+1）³ 的圖象，數形結合可得由于這2個函數的圖象僅有2個交點，從而得出結論．

解答：解：（1）函數f(x)=

2-x

x-1

=-

(x-1)-1

x-1

=-1+

1

x-1

，故把函數y=

1

x

的圖象向右平移1個單位，
再向下平移1個單位，即可得到函數f（x）的圖象，如圖所示：
（2）函數f（x）的減區(qū)間為（-∞，1）、（1，+∞）．
函數f（x）在區(qū)間（-3，1）上是減函數，在（1，+∞）上是減函數．
證明：設-3＜x₁＜x₂＜1，則f（x₁）-f（x₂）=

1

x1-1

-

1

x2-1

=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

．
由題設可得 x₂-x₁＞0，x₁-1＜0，x₂-1＜0，∴

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

＞0，
故有f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂），故函數f（x）在區(qū)間（-3，1）上是減函數．
同理可證，函數f（x）在在（1，+∞）上是減函數．
（3）函數f（x）-g（x）的零點個數，即函數f（x）和函數g（x）=（x+1）³  的圖象交點的個數，
在同一個坐標系中，畫出函數函數f（x）和函數g（x）=（x+1）³ 的圖象，如圖所示，
由于這2個函數的圖象僅有2個交點，故函數f（x）-g（x）的零點個數為2．

點評：本題主要考查函數的單調性的判斷和證明，函數的圖象特征，函數的零點與方程根的關系，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題．