Question

（2013•威海二模）某單位在“五四青年節”舉行“綠色環保杯”象棋比賽，規則如下：兩名選手比賽時，先勝3局者將贏得這次比賽，比賽結束．假設選手乙每局獲勝的概率為

1

3

，且各局比賽勝負互不影響，已知甲先勝一局．
（Ⅰ）求比賽進行5局結束且乙勝的概率；
（Ⅱ）設ξ表示從第二局開始到比賽結束時已比賽的局數，求隨機變量ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（I）比賽進行5局結束且乙勝，其最后一局肯定是乙隊勝，前三局乙勝了其中兩局，根據相互獨立事件的概率公式求出乙隊獲得這次比賽勝利的概率；
（II）ξ的取值可能為2，3，4，然后利用相互獨立事件的概率乘法公式求出相應的概率，列出分布列，最后根據數學期望公式解之即可．

解答：解：（I）比賽進行5局結束且乙勝，其最后一局肯定是乙隊勝，前三局乙勝了其中兩局．
∴比賽進行5局結束且乙勝的概率為P=C

2 3

(

1

3

)2×

2

3

×

1

3

=

2

27

；
（II）ξ的取值可能為2，3，4
P（ξ=2）=（

2

3

）²=

4

9

，
P（ξ=3）=C

1 2

×

2

3

×

1

3

×

2

3

+（

1

3

）³=

1

3

，
P（ξ=4）=C

1 3

×

2

3

×（

1

3

）²×

2

3

+C

2 3

（

1

3

）²×

2

3

×

1

3

=

2

9

．
則ξ的分布列為

ξ	2	3	4
P	4 9	1 3	2 9

∴E（ξ）=2×

4

9

+3×

1

3

+4×

2

9

=

25

9

．

點評：本題主要考查了相互獨立事件的概率乘法公式，以及離散型隨機變量的期望與分布列，同時考查了分類討論的數學思想，屬于中檔題．