Question

【題目】已知二次函數的對稱軸為，．

（1）求函數的最小值及取得最小值時的值；

（2）試確定的取值范圍，使至少有一個實根；

（3）當時，，對任意有恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），此時；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）由，則，利用基本不等式，即可求解函數的最小值及取得最小值時的值；（2）根據二次函數的性質，可得，使得，即可求解的取值范圍；（3）由，恒成立，即，令，則，利用基本不等式求得最值，即可的取值范圍．

試題解析：（1）∵，∴，

∴，當且僅當，即時“”成立，即，此時．

（2）的對稱軸為，∴，∴，

至少有一實根，∴至少有一實根，

即與的圖象在上至少有一個交點，

，∴，，

∴，∴，∴的取值范圍為．

（3）因為，∴ ，

∴，恒成立，∴，

令，，∴，∴，

令，設，為上任意兩不等實數，且，

∴,

∵，∴，，∴，

∴在上單調遞增，∴，∴，

∴的取值范圍為．