Question

已知函數f（x）=sin（ωx+

π

3

）（x∈R，ω＞0）的圖象如圖，P是圖象的最高點，Q是圖象的最低點．且|PQ|=

13

．
（Ⅰ）求函數y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）將函數y=f（x）圖象向右平移1個單位后得到函數y=g（x）的圖象，當x∈[0，2]時，求函數h（x）=f（x）•g（x）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由余弦定理得cos∠POQ 的值，可得sin∠POQ，求出P的坐標可得A的值，再由函數的周期求出ω的值，再把點P的坐標代入函數解析式求出φ，即可求得 y=f（x） 的解析式．
（Ⅱ）求出g（x） 的解析式，化簡h（x）=f（x）g（x）的解析式，再根據x的范圍求出h（x） 的值域，從而求得h（x） 的最大值．

解答：解：（Ⅰ）過P作x軸的垂線PM過Q作y軸的垂線QM，則由已知得|PM|=2，|PQ|=

13

，由勾股定理得|QM求=3，∴T=6，
又T=

2π

ω

，∴ω=

π

3

，
∴函數y=f（x）的解析式：f（x）=sin（

π

3

x+

π

3

）；
（Ⅱ）將函數y=f（x）圖象向右平移1個單位后得到函數y=g（x）的圖象，
∴g（x）=sin

π

3

x．
函數h（x）=f（x）•g（x）=sin（

π

3

x+

π

3

） sin

π

3

x=

1

2

sin²

π

3

x+

3

2

sin

π

3

xcos

π

3

x
=

1

4

（1-cos

2π

3

x）+

3

4

sin

2π

3

x=

1

2

sin（

2π

3

x-

π

6

）+

1

4

．…（10分）
當x∈[0，2]時，

2π

3

x-

π

6

∈[-

π

6

，

7π

6

]，
∴當

2π

3

x-

π

6

=

π

2

，
即 x=1時，h_max（x）=

3

4

．

點評：本題主要考查函數y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求解析式，三角函數的最值的求法與應用，考查計算能力屬于中檔題．