Question

已知函數f（x）=

a

2x

+xlnx，g（x）=x³-x²-x-1．
（1）如果存在x，x∈[0，2]，使得g（x）-g（x）≥M，求滿足該不等式的最大整數M；
（2）如果對任意的s，t∈[

1

3

，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）存在x₁、x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立等價于g（x）_max-g（x）_min≥M；
（2）對于任意的s、t∈[

1

3

，2]，都有f（s）≥g（t）成立等價于f（x）≥g（x）_max，進一步利用分離參數法，即可求得實數a的取值范圍．

解答：解：（1）存在x₁、x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立等價于g（x）_max-g（x）_min≥M
∵g（x）=x³-x²-x-1，∴g′（x）=（x-1）（3x+1）
∴g（x）在（0，1）上單調遞減，在（ 1，2）上單調遞增，
∴g（x）_min=g（ 1）=-2，g（x）_max=g（2）=1
∴g（x）_max-g（x）_min=3，∴滿足的最大整數M為3；
（2）對于任意的s、t∈[

1

3

，2]，都有f（s）≥g（t）成立等價于f（x）≥g（x）_max．
由（I）知，在[

1

3

，2]上，g（x）_max=g（2）=1
∴在[

1

3

，2]上，f（x）=

a

2x

+xlnx≥1恒成立，等價于a≥2x-2x²lnx恒成立
記h（x）=2x-2x²lnx，則h′（x）=2-4xlnx-x且h′（1）=0
∴當

1

3

＜x＜1時，h′（x）＞0；當1＜x＜2時，h′（x）＜0
∴函數h（x）在（

1

3

，1）上單調遞增，在（1，2）上單調遞減，
∴h（x）_max=h（1）=2
∴a≥2．

點評：本題考查了利用導數求閉區間上函數的最值，考查導數在研究函數問題中的應用、由不等式恒成立求解參數范圍，考查了劃歸與轉化的思想，屬于中檔題．