Question

已知函數f（x）=x²-blnx在（1，2]是增函數，g（x）=x-b

x

在（0，1）為減函數．
（1）求b的值；
（2）設函數φ（x）=2ax-

1

x2

是區間（0，1]上的增函數，且對于（0，1]內的任意兩個變量s、t，f（s）≥?（t）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意知，f′（x）≥0在x∈（1，2]上恒成立且g′（x）≤0在x∈（0，1）上恒成立，進而得到b的值；
（2）由于函數φ(x)=2ax-

1

x2

在x∈（0，1]上為增函數，則φ'（x）≥0在（0，1]上恒成立，即a＞-

1

x3

在（0，1]上恒成立，即可得到實數a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f′(x)=2x-

b

x

，
依題意f′（x）≥0在x∈（1，2]上恒成立，即b≤2x²在x∈（1，2]上恒成立，
∴b≤2（3分）
又∵g′(x)=1-

b

2 x

，
依題意g′(x)≤0x∈(0，1)，⇒b≥2

x

恒成立，
∴b≥2（5分）
∴b=2（6分）
（2）∵f′(x)=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

當x∈（0，1）時，f'（x）＜0，
∴f（x）為減函數，其最小值為1（8分）
令φ(x)=2ax-

1

x2

，則φ′(x)=2a+

2

x3

，
∵函數φ(x)=2ax-

1

x2

在x∈（0，1]上為增函數，
∴φ'（x）≥0在（0，1]上恒成立
即a＞-

1

x3

在（0，1]上恒成立，
∴a≥-1，且φ(x)=2ax-

1

x2

的最大值為2a-1（10分）
依題意

a≥-1 2a-1≤1

，解得-1≤a≤1為所求范圍（12分）

點評：本題考查利用導數求閉區間上函數的最值的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．解題時要認真審題，仔細解答．