Question

【題目】設、是橢圓的左、右頂點，為橢圓上異于、的一點．

（1）是橢圓的上頂點，且直線與直線垂直，求點到軸的距離；

（2）過點的直線（不過坐標原點）與橢圓交于、兩點，且點在軸上方，點在軸下方，若，求直線的斜率．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設點，根據，可求得直線的方程，并將直線與橢圓的方程聯立，可求出點的坐標，進而可求得點到軸的距離；

（2）設點、，設直線的方程為，可知，，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，由得，結合韋達定理可求得實數的值，進而可求得直線的斜率.

（1）設點，又、、．

直線與直線垂直，直線的斜率為，

直線的斜率為，則直線的方程為，

聯立橢圓方程，消去得，

解得，則，因此，點到軸的距離為；

（2）設、，則，，設直線的方程為，

代入橢圓的方程消去，得，

得，，

由，知，即，

代入上式得，，

所以，解得，

，則，所以，，故直線的斜率為．