Question

【題目】記等比數列{an}前n項和為Sn ， 已知a1+a3=30，3S1 ， 2S2 ， S3成等差數列．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）若數列{bn}滿足b1=3，bn+1﹣3bn=3an ， 求數列{bn}的前n項和Bn；
（3）刪除數列{an}中的第3項，第6項，第9項，…，第3n項，余下的項按原來的順序組成一個新數列，記為{cn}，{cn}的前n項和為Tn ， 若對任意n∈N* ， 都有 ＞a，試求實數a的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設等比數列{an}的公比為q，∵a1+a3=30，3S1，2S2，S3成等差數列，

∴ =30，3S1+S3=2×2S2，化為：3a2=a3，解得q=3，a1=3．∴an=3n．

（2）解：∵bn+1﹣3bn=3an=3n+1，∴ ﹣ =1．

∴數列 是等差數列，公差為1，首項為1．

∴ =1+（n﹣1）=n，∴bn=n3n．

∴數列{bn}的前n項和Bn=3+2×32+…+n3n，

3Bn=32+2×33+…+（n﹣1）3n+n3n+1，

∴﹣2Bn=3+32+…+3n﹣n3n+1= ﹣n3n+1= 3n+1﹣ ，

∴Bn= ×3n+1+

（3）解：由題意可得：c2n﹣1=a3n﹣2=33n﹣2，c2n=a3n﹣1=33n﹣1，

∴n=2k（k∈N*）時，c2n﹣1+c2n=33n﹣2+33n﹣1= ×27n．

Tn=T2k= × = ．

n=2k﹣1時，Tn=T2k﹣1=T2k﹣33n﹣1= ﹣33n﹣1= ．

因此：n=2k（k∈N*）時， = = + ∈ ．

n=2k﹣1（k∈N*）時， = = ∈ ．

綜上可得： ＞ ．∴a的最大值為

【解析】（1）由a1+a3=30，3S1 ， 2S2 ， S3成等差數列，可得 =30，3S1+S3=2×2S2 ， 化簡解出利用等比數列的通項公式即可得出．（2）由bn+1﹣3bn=3an=3n+1 ， 變形為 ﹣ =1，利用等差數列的通項公式可得bn ， 再利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式可得Bn ． （3）由題意可得：c2n﹣1=a3n﹣2=33n﹣2 ， c2n=a3n﹣1=33n﹣1 ， 可得c2n﹣1+c2n=33n﹣2+33n﹣1= ×27n ． 對n分類討論即可得出．
【考點精析】通過靈活運用等比數列的通項公式（及其變式）和數列的前n項和，掌握通項公式：；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系即可以解答此題．