Question

【題目】已知拋物線的方程為，過點(diǎn)的一條直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若拋物線在兩點(diǎn)的切線交于點(diǎn).

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)直線與直線的夾角為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）由AB直線與拋物線交于兩點(diǎn)可知，直線AB不與x軸垂直，故可設(shè)，代入，

整理得：，方程①的判別式，故時(shí)均滿足題目要求．記交點(diǎn)坐標(biāo)為，則為方程①的兩根，故由韋達(dá)定理可知，．將拋物線方程轉(zhuǎn)化為，則，故A點(diǎn)處的切線方程為，整理得，

同理可得，B點(diǎn)處的切線方程為，記兩條切線的交點(diǎn)，

聯(lián)立兩條切線的方程，解得點(diǎn)坐標(biāo)為，

故點(diǎn)P的軌跡方程為，

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線PQ即為y軸，與直線AB的夾角為．

當(dāng)時(shí)，記直線PQ的斜率為，則，又由于直線AB的斜率為，且已知直線AB與直線PQ所夾角

，

綜上所述，得取值范圍是