Question

【題目】如圖，點F是拋物線τ：x2=2py （p＞0）的焦點，點A是拋物線上的定點，且 =（2，0），點B，C是拋物線上的動點，直線AB，AC斜率分別為k1 ， k2 ．

（I）求拋物線τ的方程；
（Ⅱ）若k1﹣k2=2，點D是點B，C處切線的交點，記△BCD的面積為S，證明S為定值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設A（x0，y0），可知F（0， ），故 ．

∴ ，代入x2=2py，得p=2．

∴拋物線τ的方程為x2=4y．

（Ⅱ）過D作y軸的平行線交BC于點E，并設B（ ），C（ ），

由（Ⅰ）得A（﹣2，1）．

=2，

∴x2﹣x1=8．

直線DBy= ，直線CDy= ，解得 ．

∴直線BC的方程為y﹣ = ，將xD代入得 ．

∴△BCD的面積為S= ×ED×（x2﹣x1）= = （定值）

【解析】（1）設A（x0，y0），由拋物線方程可得焦點坐標F（0， ），根據 =（2，0）即拋物線方程列出方程組，解出p，得到方程；（2）過D作y軸的平行線交BC于點E，設出B，C坐標，根據斜率之差為2，得出x2﹣x1=8，直線方程聯立拋物線方程，得出xD，yD ， y E，再算出△BCD的面積.