Question

【題目】已知函數f（x）=Acos2（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，0＜φ＜ ）的最大值為3，f（x）的圖象與y軸的交點坐標為（0，2），其相鄰兩條對稱軸間的距離為2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）的值為（　　）
A.2468
B.3501
C.4032
D.5739

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵函數f（x）=Acos2（ωx+φ）+1=A +1

= cos（2ωx+2φ）+1+ （A＞0，ω＞0，0＜φ＜ ）的最大值為3，

∴ +1+ =3，可求：A=2．

∵函數圖象相鄰兩條對稱軸間的距離為2，可得函數的最小正周期為4，即： =4，

∴解得：ω= ．

又∵f（x）的圖象與y軸的交點坐標為（0，2），可得：cos（2φ）+1+1=2，

∴cos2φ=0，2φ= ，解得：φ= ．

∴函數的解析式為：f（x）=cos（ x+ ）+2=﹣sin x+2，

∴f（1）+f（2）+…+f（2016）=﹣（sin +sin +sin +…+sin ）+2×2016

=504×0+4032=4032．

故答案為：C．

根據正弦函數的圖象及性質得到f（x）的解析式，不難計算出f（1）+f（2）+…+f（2016）=4032．