Question

如圖，一圓錐內(nèi)接于半徑為R的球O，當(dāng)圓錐的體積最大時(shí)，圓錐的高等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：畫出過(guò)球心的一個(gè)軸截面，有圖找出圓錐的高和底面半徑之間的關(guān)系式，再代入圓錐的體積公式，利用求它的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)為零的性質(zhì)，求出圓錐體積最大時(shí)圓錐的高．

解答： 解：設(shè)圓錐的高是h，過(guò)球心的一個(gè)軸截面如圖：
則圓錐的底面半徑r=

R2-(h-R)2

，
∴圓錐的體積V=

1

3

πr²h=

1

3

π（-h³+2h²R），
∵V'=

1

3

α（-3h²+4hR），由V′=0解得，h=

4

3

R，
∴由導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)h=

4

3

R時(shí)，圓錐的體積最大．
故答案為：

4

3

R．

點(diǎn)評(píng)：本題是有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的綜合題，需要根據(jù)軸截面和體積公式列出函數(shù)關(guān)系，再由導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)最值問(wèn)題，考查了分析和解決問(wèn)題的能力．