Question

已知點，是拋物線上相異兩點，且滿足．

（Ⅰ）若的中垂線經過點，求直線的方程；

（Ⅱ）若的中垂線交軸于點，求的面積的最大值及此時直線的方程．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 利用導數分析單調性，進而求最值；(Ⅱ)利用不等式的放縮和數列的裂項求和

試題解析：（I）方法一

（I）當垂直于軸時，顯然不符合題意，

所以可設直線的方程為，代入方程得：

∴        得：                 2分

∴直線的方程為 

∵中點的橫坐標為1，∴中點的坐標為                   4分       

∴的中垂線方程為             

∵的中垂線經過點，故，得                  6分

∴直線的方程為                                    7分

（Ⅱ）由（I）可知的中垂線方程為，∴點的坐標為     8分

因為直線的方程為

∴到直線的距離                10分

由 得，，

                      12分

∴,   設,則，

，，由，得 

在上遞增，在上遞減，當時，有最大值

得：時，    

直線方程為                                 15分

(本題若運用基本不等式解決，也同樣給分)

法二：

（Ⅰ）當垂直于軸時，顯然不符合題意，

當不垂直于軸時，根據題意設的中點為，

則                                           2分

由、兩點得中垂線的斜率為，                             4分

由，得                                               6分

∴直線的方程為                                           7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知直線的方程為                           8分

中垂線方程為，中垂線交軸于點

點到直線的距離為                          10分

由得：

     

當時，有最大值，此時直線方程為        15分

考點：本小題主要考查直線方程，拋物線方程等知識點，考查學生的綜合處理能力.