Question

（本題滿分15分）

已知點，是拋物線上相異兩點，且滿足．

（Ⅰ）若的中垂線經過點，求直線的方程；

（Ⅱ）若的中垂線交軸于點，求的面積的最大值及此時直線的方程．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ），直線方程為。

【解析】

試題分析：（I）當垂直于軸時，顯然不符合題意，

所以可設直線的方程為，代入方程得：

∴              ………………………………2分

得： 

∴直線的方程為                  

∵中點的橫坐標為1，∴中點的坐標為  …………………………4分       

∴的中垂線方程為 

∵的中垂線經過點，故，得   ………………………6分

∴直線的方程為           ………………………7分

（Ⅱ）由（I）可知的中垂線方程為，∴點的坐標為……8分

因為直線的方程為

∴到直線的距離…………………10分

由 得，，

     …………………………12分

∴,  設,則，

，，由，得 

在上遞增，在上遞減，當時，有最大值

得：時，    

直線方程為                    ……………15分

（本題若運用基本不等式解決，也同樣給分）

法二：

（Ⅰ）當垂直于軸時，顯然不符合題意，

當不垂直于軸時，根據題意設的中點為，

則                    …………2分

由、兩點得中垂線的斜率為，    ………………4分

由，得                   ………………6分

∴直線的方程為                ……………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知直線的方程為          ………………8分

中垂線方程為，中垂線交軸于點

點到直線的距離為       ………………10分

由得：

     

當時，有最大值，此時直線方程為     ………15分；

考點：拋物線的簡單性質；直線與拋物線的綜合應用；中點坐標公式；直線垂直的條件。

點評：（1）本題主要考查直線與拋物線的綜合應用等基礎知識，考查了學生運算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力，以及分類討論、化歸與轉化思想．（2）做此題的關鍵是表示出的面積。本題在計算過程中較為復雜繁瑣，我們在計算的過程中一定要耐住性子，認真、細致，避免出現計算錯誤。