Question

（本題滿分15分）

已知點，是拋物線上相異兩點，且滿足．

（Ⅰ）若的中垂線經過點，求直線的方程；

（Ⅱ）若的中垂線交軸于點，求的面積的最大值及此時直線的方程．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）

【解析】

試題分析：方法一：

解：（I）當垂直于軸時，顯然不符合題意，

所以可設直線的方程為，代入方程得：

∴                         ………………………………2分

得：              

∴直線的方程為                  

∵中點的橫坐標為1，∴中點的坐標為    …………………………4分       

∴的中垂線方程為 

∵的中垂線經過點，故，得       ………………………6分

∴直線的方程為                       ………………………7分

（Ⅱ）由（I）可知的中垂線方程為，∴點的坐標為 …………8分

因為直線的方程為

∴到直線的距離      …………………10分

由得，

            …………………………12分

∴,  設,則，

，，由，得

即時

此時直線的方程為                         ……………15分

（本題若運用基本不等式解決，也同樣給分）

法二：

（1）根據題意設的中點為，則      ………………2分

由、兩點得中垂線的斜率為，              ………………4分

由，得                          ………………6分

∴直線的方程為                       ………………7分

（2）由（1）知直線的方程為                             ………………8分

中垂線方程為，中垂線交軸于點

點到直線的距離為            ………………10分

由得：

當時，有最大值，此時直線方程為……………15分

考點：本試題考查了直線方程與拋物線方程的知識。

點評：解決該試題的關鍵是利用兩直線的垂直，結合斜率之積為-1，得到斜率，同時結合點點斜式方程來得到直線的方程。而對于直線與拋物線的位置關系的處理，結合方程組，設而不求的思想來結合韋達定理和判別式得到結論，屬于中檔題。