Question

【題目】已知左焦點為F（﹣1，0）的橢圓過點E（1， ）．過點P（1，1）分別作斜率為k1 ， k2的橢圓的動弦AB，CD，設M，N分別為線段AB，CD的中點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若P為線段AB的中點，求k1；
（3）若k1+k2=1，求證直線MN恒過定點，并求出定點坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意c=1，且右焦點F′（1，0）

∴2a=EF+EF′= ，b2=a2﹣c2=2

∴所求橢圓方程為

（2）解：設A（x1，y1），B（x2，y2），則

①， ②

②﹣①，可得k1= =﹣ =﹣

（3）證明：由題意，k1≠k2，

設M（xM，yM），直線AB的方程為y﹣1=k1（x﹣1），即y=k1x+k2，

代入橢圓方程并化簡得（ ）x2+6k1k2x+ =0

∴ ，

同理， ，

當k1k2≠0時，直線MN的斜率k= =

直線MN的方程為y﹣ = （x﹣ ）

即

此時直線過定點（0，﹣ ）

當k1k2=0時，直線MN即為y軸，此時亦過點（0，﹣ ）

綜上，直線MN恒過定點，且坐標為（0，﹣ ）

【解析】（1）利用橢圓的定義求出橢圓的標準方程；（2）設A，B的坐標，利用點差法確定k1的值；（3）求出直線MN的方程，利用根與系數的關系以及k1+k2=1探究直線過哪個定點．
【考點精析】關于本題考查的橢圓的標準方程，需要了解橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能得出正確答案．