Question

【題目】已知拋物線，點與拋物線的焦點關于原點對稱，動點到點的距離與到點的距離之和為4.

（1）求動點的軌跡；

（2）若，設過點的直線與的軌跡相交于兩點，當的面積最大時，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）或

【解析】

（1）先求的坐標，若，則動點的軌跡不存在；若，則動點的軌跡為線段；若，則動點的軌跡為橢圓.

（2）直線的斜率必存在，可先聯立直線方程和橢圓的方程，消元后利用韋達定理可求的長，再求出到直線的距離后可得面積表達式，最后利用基本不等式可得面積何時最大并能求出此時直線的方程.

（1）①當時，的軌跡不存在.

②當時，的軌跡為一線段，方程為；

③當時，的軌跡為焦點在軸上的橢圓，方程為.

（2）若，則的軌跡方程為 .

當軸時不合題意， 故設，，.

將代入得.

由得，，

解得或.

由韋達定理得， ，

.

又點到直線的距離，

，其中或.

令，則且，

當且僅當即,時等號成立,

所以，當的面積最大時，的方程為或.

方法二：若，則的軌跡方程為.

當軸時不合題意， 故設，，，且.

將代入得.

由得，，

解得或.

由韋達定理得，，

，，

令，則且，

當且僅當即,時等號成立,

所以，當的面積最大時，的方程為或.