Question

已知有關(guān)正三角形的一個(gè)結(jié)論：“在正三角形ABC中，若D是BC的中點(diǎn)，G是三角形ABC內(nèi)切圓的圓心，則

AG

GD

=2”．若把該結(jié)論推廣到正四面體（所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐），則有結(jié)論：“在正四面體ABCD中，若M是正三角形BCD的中心，O是在正四面體ABCD內(nèi)切球的球心，則

AO

OM

=

3

”．

Answer 1

分析：類比平面幾何結(jié)論，推廣到空間，則有結(jié)論：“

AO

OM

=3”．設(shè)正四面體ABCD邊長(zhǎng)為1，易求得AM=

6

3

，又O到四面體各面的距離都相等，所以O(shè)為四面體的內(nèi)切球的球心，設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則有r=

3V

S表

，可求得r即OM，從而可驗(yàn)證結(jié)果的正確性．

解答：解：推廣到空間，則有結(jié)論：“

AO

OM

=3”．
設(shè)正四面體ABCD邊長(zhǎng)為1，易求得AM=

6

3

，又O到四面體各面的距離都相等，
所以O(shè)為四面體的內(nèi)切球的球心，設(shè)內(nèi)切球半徑為r，
則有r=

3V

S表

，可求得r即OM=

6

12

，
所以AO=AM-OM=

6

4

，所以 

AO

OM

=3．
故答案為：3

點(diǎn)評(píng)：本題考查類比推理、幾何體的結(jié)構(gòu)特征、體積法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查空間想象力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．