Question

已知拋物線C的一個焦點為F(

1

2

，0)，其準線方程為x=-

1

2

（1）寫出拋物線C的方程；
（2）過F點的直線與曲線C交于A、B兩點，O點為坐標原點，求△AOB重心G的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線C的一個焦點為F(

1

2

，0)，其準線方程為x=-

1

2

，可得拋物線C的方程為y²=2x；
（2）①當直線l不垂直于x軸時，設方程為y=k（x-

1

2

），代入y²=2x，得k²x²-x（k²+2）+

k

4

=0．設點A、B的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），根據韋達定理，及三角形的重心坐標公式，即可求出△AOB重心G的軌跡方程；②當l垂直于x軸時，A、B的坐標分別為（

1

2

，1）和（

1

2

，-1），△AOB的重心G（

1

3

，0），也適合y²=

2

3

x-

2

9

，故可得軌跡C的方程．

解答：解：（1）∵拋物線C的一個焦點為F(

1

2

，0)，其準線方程為x=-

1

2

∴拋物線C的方程為y²=2x；
（2）拋物線的焦點坐標為（

1

2

，0），
①當直線l不垂直于x軸時，設方程為y=k（x-

1

2

），代入y²=2x，
得k²x²-x（k²+2）+

k

4

=0．
設l方程與拋物線相交于兩點，∴k≠0．設點A、B的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
根據韋達定理，有x₁+x₂=

k+2

k

，從而y₁+y₂=k（x₁+x₂-1）=

2

k

．
設△AOB的重心為G（x，y），則x=

0+x1+x2

3

=

k2+2

3k

，y=

0+y1+y2

3

=

2

3k

，
∴y²=

2

3

x-

2

9

．
②當l垂直于x軸時，A、B的坐標分別為（

1

2

，1）和（

1

2

，-1），△AOB的重心G（

1

3

，0），也適合y²=

2

3

x-

2

9

，
因此所求軌跡C的方程為y²=

2

3

x-

2

9

．

點評：本題重點考查拋物線的方程，考查拋物線的性質，考查韋達定理的運用，解題的關鍵是直線與拋物線聯立，利用韋達定理解決．