Question

（2013•鷹潭一模）給出以下四個結論：
①函數f（x）=

3x-2

x-1

關于點（1，3）中心對稱；
②在△ABC中，“bcosA=acosB”是“△ABC為等腰三角形”的充要條件；
③若將函數f（x）=sin（2x-

π

3

）的圖象向右平移Φ（Φ＞0）個單位后變為偶函數，則Φ的最小值是

π

12

；
④已知數列{a_n}是等比數列，S_n是其前n項和，則當k為奇數時，S_k，S_2k-S_k，S_3k-S_2k成等比數列．其中正確的結論是

①③④

．

Answer 1

分析：①由圖象變換的知識可知正確；②在△ABC中，由bcosA=acosB，可得△ABC為等腰三角形，但當△ABC為等腰三角形時，不能推出bcosA=acosB；③由題意可得Φ=

k

2

π+

π

12

，結合Φ＞0，可得結論；④由等比數列的“片段和”仍成等比數列，可得答案．

解答：解：①函數f（x）=

3x-2

x-1

=

3(x-1)+1

x-1

=3+

1

x-1

，其圖象可由函數y=

1

x

的圖象向右平移1個單位，
向上平移3個單位得到，故函數y=

1

x

的對稱中心也由（0，0）移到點（1，3），
故已知函數的圖象關于點（1，3）中心對稱，故正確；
②在△ABC中，由bcosA=acosB，可得sinBcosA=sinAcosB，即sin（A-B）=0，可得A=B，故△ABC為等腰三角形，
而當△ABC為等腰三角形時，可能B=C，不能推出A=B，也不能推出bcosA=acosB，故不是充要條件，故錯誤；
③若將函數f（x）=sin（2x-

π

3

）的圖象向右平移Φ（Φ＞0）個單位后，解析式變為f（x）=sin（2x-2Φ-

π

3

），
由偶函數可得2Φ+

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z，解得Φ=

k

2

π+

π

12

，結合Φ＞0，可得當k=0時，Φ取最小值

π

12

，故正確；
④已知數列{a_n}是等比數列，S_n是其前n項和，當公比q=1時，S_k，=ka₁，S_2k-S_k=ka₁，S_3k-S_2k=ka₁，顯然有S_k，S_2k-S_k，S_3k-S_2k成等比數列，
當公比q≠1時，S_k=

a1(1-qk)

1-k

，S_2k-S_k=

a1(1-q2k)

1-k

-

a1(1-qk)

1-k

=

a1(1-qk)

1-k

q，S_3k-S_2k=

a1(1-q3k)

1-k

-

a1(1-q2k)

1-k

=

a1(1-qk)

1-k

q²，
顯然也有S_k，S_2k-S_k，S_3k-S_2k成等比數列，故正確．
故答案為：①③④

點評：本題考查命題真假的判斷，涉及等比數列的性質和三角函數的性質，屬基礎題．