Question

（2013•鷹潭一模）定義域為R的偶函數f（x）滿足對?x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且當x∈[2，3]時，f（x）=-2x²+12x-18，若函數y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至多三個零點，則a的取值范圍是（　　）

• A．（

  5

  5

  ，1）
• B．（

  5

  5

  ，1）∪（1，+∞）
• C．（0，

  5

  5

  ）
• D．（

  3

  3

  ，1）

Answer 1

分析：先利用函數是偶函數求出，f（1），進而得到函數的周期性，然后利用函數的周期性和奇偶性作出函數f（x）的圖象，利用f（x）與log_a（|x|+1）的圖象關系確定取值范圍．

解答：解：因為函數f（x）是偶函數，所以令x=-1得，f（-1+2）=f（-1）-f（1）=f（1），解得f（1）=0，所以f（x+2）=f（x）-f（1）=f（x），即函數的周期是2．
由y=f（x）-log_a（|x|+1）=0得f（x）=log_a（|x|+1），令y=f（x），y=log_a（|x|+1），當x＞0時，y=log_a（|x|+1）=log_a（x+1），函數過點（0，0）．
若a＞1，則由圖象可知，此時數y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上沒有零點，所以此時此時滿足條件．
若0＜a＜1，則由圖象可知，要使兩個函數y=f（x）與y=log_a（x+1），有三個交點，
則y=m（x）=log_a（x+1）不能過點B（4，-2），即m（4）＜-2，即log_a5＜-2，解得a＞

5

5

，此時

5

5

＜a＜1．
所以滿足條件的a的取值范圍a＞1或

5

5

＜a＜1．
故選B．

點評：本題考查了函數與方程以及函數零點個數問題，解決此類問題的基本方法是利用數形結合，將函數零點問題轉化為兩個函數圖象的交點個數問題．