Question

已知函數f（x）=lnx-ax²-bx（a≠0）．
（Ⅰ）當b=1時，若函數f（x）存在單調遞減區間，求a的取值范圍；
（Ⅱ）當b=-1時，如果f（x）的圖象與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），記x₀=

x1+x2

2

．試問：f（x）的圖象在點C（x₀，f（x₀））處的切線是否平行于x軸？證明你的結論．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）當b=1時，求函數的奧斯，根據函數單調性和導數之間的關系，求a的取值范圍；
（Ⅱ）根據導數的幾何意義，求出對應的切線斜率，根據切線斜率的關系即可得到結論．

解答： 解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為（0，+∞）．由題意f′（x）=

1

x

-2ax-1=-

2ax2+x-1

x

＜0有解．
即2ax²+x-1＞0，即判別式△=1+8a＞0，
解得a＞-

1

8

且a≠0，
故a的取值范圍是{a|a＞-

1

8

且a≠0}．
（Ⅱ）假設f（x）的圖象在點C（x₀，f（x₀））處的切線平行于x軸，則有
f′（x₀）=

1

x0

-2ax0+1=

2

x1+x2

-a（x₁+x₂）+1=0，
即

2

x1+x2

=a（x₁+x₂）-1，①
又f（x₁）=lnx₁-ax₁²+x₁=0②
f（x₂）=lnx₂-ax₂²+x₂=0 ③
②-③得ln

x1

x2

-a（x₁+x₂）（x₁-x₂）+（x₁-x₂）=0，
從而

ln x1 x2

x1-x2

=a（x₁+x₂）-1，④
由①④得

lnx1-lnx2

x1-x2

=

2

x1+x2

，即ln

x1

x2

=

2( x1 x2 -1)

( x1 x2 +1)

，
令

x1

x2

=t(0＜t＜1)，得lnt=

2(t-1)

t+1

             ⑤10分
令h（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，（0＜t＜1），則h′（t）=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
所以h（t）=在（0，1）上單調遞增，從而有h（t）＜h（1）=0，
即lnt＜

2(t-1)

t+1

，這與⑤式矛盾，
故f（x）的圖象在點C（x₀，f（x₀））處的切線不平行于x軸．

點評：本題主要考查函數單調性的判斷以及導數的幾何意義，利用導數的應用是解決本題的關鍵．考查學生的運算能力．