Question

如圖，三棱錐中，平面，，，為中點.

（1）求證：平面；
（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）二面角的正弦值為.

試題分析：（1）要證直線平面，只需證垂直于平面內的兩條相交直線，首先在等腰三角形中利用三線合一的原理得到，通過證明平面，得到，再結合直線與平面垂直的判定定理證明平面；（2）解法一是利用三垂線法來求二面角的正弦值，利用平面，從點作的中位線，得到平面，再過點作，并連接，先利用直線平面來說明為二面角的平面角，最后在直角三角形中來計算的正弦值；解法二是以點為原點，、的方向分別為軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，利用空間向量法來求二面角的余弦值，進而求出它的正弦值.
試題解析：（1）平面，平面，，
，平面，平面，，平面，
又平面，，
，為的中點，，
平面，平面，，平面；
（2）方法一：取的中點，連接，則.
由已知得面，過作，為垂足，連接，
由（1）知，平面，平面，，
，且，面，
平面，，故為二面角的平面角，
 
，
故二面角的余弦值為；

方法二:以為原點建立空間直角坐標系B，

，，，，，則，，
平面法向量為，
設平面法向量為，
則 
.
令z=1,得x=-1,y=1,.即，
設二面角E-AB-C為,則= 
故二面角的余弦值為.