Question

(本小題滿分12分)
已知數列中，，且點在直線上.數列中，，，
(Ⅰ) 求數列的通項公式（Ⅱ）求數列的通項公式； 
（Ⅲ）（理）若，求數列的前項和.

Answer 1

(Ⅰ) （n∈）；（Ⅱ）；（Ⅲ）（n∈）

本題考查數列的通項公式的計算和前n項和公式的求法，綜合性強，難度大，容易出錯．解題時要認真審題，注意錯位相減法的靈活運用．
（Ⅰ）由a_n+1=2a_n+3得a_n+1+3=2（a_n+3），由此能求出a_n．
（Ⅱ）因為（b_n+1，b_n）在直線y=x-1上，所以b_n=b_n+1-1即b_n+1-b_n=1，由此能求出b_n．
（Ⅲ）由c_n=a_n+3=2ⁿ⁺¹-3+3=2ⁿ⁺¹，知b_nc_n=n•2ⁿ⁺¹，所以S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，再由錯位相減法能求出S_n．
解：(Ⅰ)由得
所以是首項為，公比為2的等比數列.
所以，故（n∈）
（Ⅱ）因為在直線上，
所以即又
故數列是首項為1，公差為1的等差數列，
所以
（Ⅲ）== 故
所以
故
相減得
所以（n∈）